डिजिटल अर्काईव्ह (2008 - 2021)

"गणिताचे तत्त्व काय? शॉर्टकट. इथं तुला २ घनफळची तुलना करायचीय. त्यांची नेमकी घनफळं नको आहेत. इथं तुला काय करायचंय (घ.फ./घ.फ.) हे गुणोत्तर (Ratio) काढायचंय. घ.फ. हे ३० सें.मी. व्यासाच्या गोलाचं घनफळ समजू आणि घ.फ. हे १५ सेमी व्यासाच्या गोलाचे. घनफळाच्या सूत्रात TT आणि ६ ह्या अचल संख्या आहेत. त्यांच्या किंमती बदलत नाहीत म्हणून त्यांना अचल संख्या किंवा Constant म्हटलं जातं. (घ.फ../घ.फ.) ह्या गुणोत्तरात त्या दोन्ही ठिकाणी आहेत. तेव्हा गुणोत्तरात त्यांचा विचार करण्याची जरूरी नाही. बदलती म्हणजे चल किंवा अनित्य बाब तिला Variable म्हणतात, ती कोणती? तर गोलांचा व्यास. तेव्हा (व्य,'/व्य,') एवढं गुणोत्तर काढले की झालं. इथंदेखील व्य, आणि व्य, च्या घन किमती काढण्याची जरूरी नाही. (व्य,/व्य,') = व्य, /व्य,)' ह्या सूत्राचा उपयोग = २ केला की गुणोत्तर एकदम सोपं. कलिंगडांच्या बाबतीत हे गुणोत्तर किती? झटक्यात सांग." 

दुसऱ्या दिवशी काका ऑफिसातून आला. काकानं एक मोठंच्या मोठं कलिंगड आणलं होतं.

"केवढ्याला घेतलंस हे काका?" रोहननं विचारलं.

“पन्नास रुपयाला. "

"महागात पडलं. बाहेर दहा-दहा रुपयाला मिळतात."

"ती लहान असतात. हे बघ केवढ मोठे आहे."

"म्हणून काय ५० रुपये?"

"तीच तर गंमत आहे. लहान कलिंगड १० रुपयालाच होतं. त्याचा व्यास होता १५ सेमी. ह्याचा व्यास ३० सेमी आहे. 

"५० रुपयांत १५ सें.मी.ची ५ कलिंगडं आली असती "
की" आपल्या गणिती काकानं एवढी मोठी चूक करावी? 

"माझ्या गणिताप्रमाणं मला हाच सौदा फायद्याचा वाटते."

रोहन बुचकळ्यात.

"एखादा सौदा फायद्यात पडला असं आपण केव्हा म्हणतो, जेव्हा ठराविक किंमतीत जास्त वजनाचा किंवा घनफळाचा (घ.फ.) म्हणजेच Volume चा माल मिळतो तेव्हा. गोलाच्या घनफळाचं सूत्र काय?"

"(Tव्य')/६" त्यात काय सांगायचं?TT= २२/७ आणि व्य = गोलाचा व्यास.

"३० सेमी व्यास असलेल्या गोलाचं घनफळ १५ सेंमी. व्यास असलेल्या गोलाच्या घनफळ पेक्षा किती पट जास्त असेल?"

घनफळाच्या सूत्रात किमती घालून रोहन गणित करू लागला. काकानं त्याला रोखलं. 

"गणिताचे तत्त्व काय? शॉर्टकट. इथं तुला २ घनफळची तुलना करायचीय. त्यांची नेमकी घनफळं नको आहेत. इथं तुला काय करायचंय (घ.फ./घ.फ.) हे गुणोत्तर (Ratio) काढायचंय. घ.फ. हे ३० सें.मी. व्यासाच्या गोलाचं घनफळ समजू आणि घ.फ. हे १५ सेमी व्यासाच्या गोलाचे. घनफळाच्या सूत्रात TT आणि ६ ह्या अचल संख्या आहेत. त्यांच्या किंमती बदलत नाहीत म्हणून त्यांना अचल संख्या किंवा Constant म्हटलं जातं. (घ.फ../घ.फ.) ह्या गुणोत्तरात त्या दोन्ही ठिकाणी आहेत. तेव्हा गुणोत्तरात त्यांचा विचार करण्याची जरूरी नाही. बदलती म्हणजे चल किंवा अनित्य बाब तिला Variable म्हणतात, ती कोणती? तर गोलांचा व्यास. तेव्हा (व्य,'/व्य,') एवढं गुणोत्तर काढले की झालं. इथंदेखील व्य, आणि व्य, च्या घन किमती काढण्याची जरूरी नाही. (व्य,/व्य,') = व्य, /व्य,)' ह्या सूत्राचा उपयोग = २ केला की गुणोत्तर एकदम सोपं. कलिंगडांच्या बाबतीत हे गुणोत्तर किती? झटक्यात सांग." 

"(व्य,/व्य,)' = (३०/१५)' = (२)' = ८."

"याचा अर्थ काय, लहान व्यासाच्या ८ कलिंगडांचं घनफळ = एका मोठ्या कलिंगडाचं घनफळ. म्हणजे लहान कलिंगडांचं ८० रुपयांत मिळणारं घनफळ मी ५० रुपयांत मिळवलं. झाला की नाही फायदा? हा निर्णय मी कसा घेतला? गणिती सूत्र वापरून. तेव्हा निर्णय घेताना आपण ज्या पद्धती वापरतो त्यात ही एक. ते जाऊ दे. मला चहाची तल्लफ आलीय. तुला हवाय का?"

रोहननं होकार दिला. चहा करता करता काकाची टकळी चालूच होती. काका सामाजिक समस्यांवर पोटतिडिकीनं बोलत असते. व्यवस्थेला समस्येच्या आकलनच नाही. समस्येच्या मुळापर्यंत कोणी जात नाही. नुसती वरवरची मलमपट्टी. शेतकर्यांच्या आत्महत्या, अपघात, दंगल मृतांच्या वारसांना भरपाई. समस्येचं नेमकं निरसन करण्याची बुद्धी नाही.

'परंतु त्यांना त्यावरचा उपाय माहीत नसेल तर?' चहा पिता पिता रोहननं प्रश्न केला.

"पावलं तरी योग्य दिशेनं पडली पाहिजेत. मागं तू चक्रवाढ व्याजाचे गणित घेऊन आला होतास. चक्रवाढ व्याजाचे सूत्र ठाऊक नसेल तर दोन गोष्टी करता येतील. चक्रवाढ व्याजाचं
सूत्र आपणच तयार करायचं, म्हणजे भविष्यात चक्रवाढ व्याजाचे प्रश्न सोडवण्याचा वेळ वाचेल. ते जमत नसेल तर सरळ व्याजाचं सूत्र माहीत असल्यास त्याचा वापर करायचा. म्हणजे कसं, पहिल्या वर्षीचं व्याज + मुद्दल = दुसऱ्या वर्षीचं मुद्दल. हे + त्याच्यावरील व्याज %= तिसऱ्या वर्षीचं मुद्दल अशा = तन्हेनं. ह्याला वेळ निश्चित लागेल, परंतु फसगत होणार नाही. समज तुला वर्तुळाचं क्षेत्रफळ काढायचंय. मी तुझ्यासमोर चार सूत्रं ठेवली.

१. क्षेत्रफळ = (पाया x उंची) / २

२. क्षेत्रफळ = पाया x उंची

३. क्षेत्रफळ = लांबी x रुंदी

४. क्षेत्रफळ = (दोन समांतर बाजूंची बेरीज x उंची) /२ 

“त्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्रच नाही." रोहन. 

"माहीत नसताना अयोग्य सूत्राच्या वापरानं फसगत होईल

का नाही?" चहाचा कप खाली ठेवता ठेवता काकाला काहीतरी सुचलं.

"रोहन, एक कोडं घालतो. वर्तुळाचं क्षेत्रफळ काढायचं. परंतु त्यासाठी त्रिकोणाचं म्हणजे वरीलपैकी सूत्र क्र. १ वापरायचं." 

रोहन कोड्यात पडला. काकानं त्याला हिंट दिली. 

"वरीलपैकी सूत्र क्रमांक ४ चं ट्रॅपेझॉइडचं सूत्र तुला माहीत नाही असं समज, त्रिकोणाच्या आणि चौकोनाच्या क्षेत्रफळाची सूत्रं तुला माहिती आहेत. ट्रॅपेझॉइड हा असा असतो, त्याचे

ट्रॅपॅझॉइड

आपण ३ भाग पाडले. भाग १ आणि भाग ३ हे त्रिकोण आहेत. भाग २ चौकोन. ह्या तिन्ही भागांची क्षेत्रफळ काढली आणि त्यांची बेरीज केली की ट्रॅपेझॉइडचं क्षेत्रफळ मिळेल.'

"ही हिंट चांगलीच उपयोगी पडली. रोहननं एक वर्तुळ काढलं. त्यात एक त्रिकोण काढला. आणि घोडं अडलं. 

"काका ट्रॅपेझॉइड बाबतीत ठीक आहे. परंतु त्रिकोण काढल्यानंतर वर्तुळातली बरीच जागा उरते. त्याचं काय?"

वर्तुळातल्या त्रिकोणातली एक बाजू घेऊन काकानं त्यावर अनेक त्रिकोण रचले. "इतर बाजूंवर पण असेच त्रिकोण रचत जा. अशा सर्व त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळांची बेरीज कर. असे असंख्य त्रिकोण तुला रचता येतील. कितीही रचलेस तरी वर्तुळाचा काही भाग उरणारच. जेवढे जास्त रचशील तेवढा तू वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या निकट जाशील, म्हणजेच तू अचुकतेकडं कूच करशील. आणखी तीन-चार वर्षानंतर तुझ्या अभ्यासक्रमात Calculus हा विषय येईल, त्याचा हा पाया समज. " 

"म्हणजे त्या पायाची आत्ताच ओळख झालेली बरी, असं सुचवायचं तुला." 

तुला तसं वाटत असेल तर शुभस्य शीघ्रम. आमच्या गावाकडचीच एक गोष्ट सांगतो. तिथे तळ्यामध्ये शंकराचं मंदिर आहे. शंकरासमोर नंदी आलाच. या नंदीविषयी एक

वर्तुळात त्रिकोण

दंतकथा आहे. हा नंदी दरवर्षी काही अंतर पुढं सरकतो. आदल्या वर्षी तो जेवढं अंतर सरकला असेल, त्याच्या निम्मं अंतर तो पुढच्या वर्षी सरकतो. आणि असं करत करत तो ज्या वर्षी तळ्यात बुडेल त्या वर्षी जगबुडी होईल. ही दंतकथा लहानपणापासून आम्ही ऐकतोय. अजून काही तो नंदी तळ्यात बुडलेला नाही आणि जगबुडी झालेली नाही. आणि ती कधीही होणार नाही. का, सांग बरं?
 

Tags: weeklysadhana Sadhanasaptahik Sadhana विकलीसाधना साधना साधनासाप्ताहिक


प्रतिक्रिया द्या


अर्काईव्ह

सर्व पहा

लोकप्रिय लेख 2008-2021

सर्व पहा

लोकप्रिय लेख 1996-2007

सर्व पहा

जाहिरात

साधना प्रकाशनाची पुस्तके